L. Godeaux. — Involution douée de trois points de coïncidence 
en 0 4 à F 4 , les courbes T ont un point simple en O/; Elles ont 
même tangente 0 1 0 7 en ce point, car cette droite est l’intersec¬ 
tion du plan tangent à F 1 et de l’hyperplan x 5 = 0. 
On vérifie de même que les courbes T passent simplement 
par 0 2 , 0 3 en y touchant respectivement 0 2 0 7 , 0 3 0 7 . 
Les sections hyperplanes de F 4 étant les courbes bicanoniques. 
de cette surface, les hyperquadriques découperont des courbes 
quadricanoniques. Les courbes F ont donc le genre 31 et le 
degré virtuel 48. Le degré effectif de J.T j sera, ces courbes se 
touchant en trois points, égal à 48 — 3x2 = 42 = 7 x 6 . 
Si nous rapportons projectivement les courbes T aux plans 
d’un espace S 3 , nous obtiendrons donc une surface ff>, image 
de I 7 et cette surface sera d’ordre 6 . 
L’involution I 7 détermine, sur une courbe F, une involution 
cyclique d’ordre 7 ayant trois points de coïncidence 0 4 , 0 2 ,-0 3 . 
Cette involution a donc le genre 4, et, par suite, les sections 
planes de la surface auront le genre 4. 
9 . — Pour obtenir l’équation de la surface <b dont les 
coordonnées homogènes ponctuelles par rapport à un tétraèdre 
de référence B 1 B 2 B 3 B 4 sont z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , nous devons poser, 
d’après ce qui vient d’être dit, 
*1 — _^i_ _ 
nr» rp rr* /y» /y» ir* 
*JuY ^5 0/2 <^'6 « a /3 4 tAjq 
Moyennant ces formules, les équations de F 4 se transforment 
en l’équation 
(thzîté + « 2 *l* 3 + 0 3 *I*i) 2 ^-*i* 2 * 3 *4(Mi + M 2 + b 3 z 3 + z 4 f 
de la surface 
Nous voyons donc que <t>est une surface irréductible, d’ordre 6 , 
possédant trois droites doubles B 1 : B 4 ; = i 3 = 0), B 2 B 4 
(z z ==z 1 = 0), B 3 B 4 (z i = z 2 = 0) et une cubique plane double 
«1*1*2 + «2*2*3 + «3*3*1 = ff> . Ml + i>2*2 + Ms + *4=0. 
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