Cl. Servais. — Sur la Géométrie du Tétraèdre. 
20. Le point A a- est un point de la cubique (T A ) ; car la 
droite AAa- est la tangente au point A de la parabole gauche 
dégénérée T t = [(a), AA a ] de la surface <t>. Sur la conique cir¬ 
conscrite au triangle S ab S ac S ad et tangente au point A Œ à la 
conique Sx, on a 
(A ff S aô S ac S ad ) = (A ff BCD) = ( h a h b h c h d ) ; 
donc (19) la conique Ex. et la cubique nodale (T A ) sont tangentes 
au point A*. Ainsi 
Le plan (A, a<y) est tangent le long de la droite AA a au cône 
des tangentes au point triple A de la surface d>. 
21. Si T est un point quelconque de la conique Sx, deux 
des trois paraboles gauches T t qui rencontrent une seconde fois 
la droite AT (17) coïncident avec celle qui est déterminée par le 
point T. En effet, par ce point passe une droite qui coupe les 
côtés du triangle S ab S ac S ad en trois points T A , T 2 , T 3 tels que 
(TT 4 T 2 T 3 ) = (h a h b h c h d ). 
La conique S, circonscrite à ce triangle et tangente en T à la 
conique Sx coupe une seconde fois la droite T T ± au point T A et 
l’on.a (1) 
(T AS a ôS ac S ad ) = (TTiTgTs) = (h a h b h c h d ). 
Donc la droite AT a est tangente au point A à la parabole 
gauche T t déduite du point T; par suite (19), la droite TT A est 
tangente au point T A à la cubique nodale (T A ). 
La droite AT et, par analogie, BT, CT, DT coupent donc la 
surface d> en deux points confondus en T. Il en résulte que 
La conique Sx est une conique double de la surface d>. 
Cette conique double Sx et le point triple A sont liés par la 
propriété suivante : 
Par une génératrice m du cône (À) perspectif à la conique 
double Sx passe un plan p. tel que le rapport anliarmonique 
(p., mB, inC, mD) soit égal à (h a h b h c h d ). Ce plan p. est tangent 
au cône des tangentes au point triple A de la surface d>. 
4921 . SCIENCES. 
691 
46 
