appartenant à une surface algébrique de genre 5. 
alignés sur les points du plan de cette courbe. Il y a oc 1 courbes 
canoniques dégénérées; elles correspondent au cas où le point 
du plan de K appartient à cette courbe. Désignons par D une 
courbe qui représente les couples de points de K contenant un 
point fixe de cette courbe, par D' la courbe que T lui fait cor¬ 
respondre. On sait que la courbe D -f- D' est une courbe cano¬ 
nique et que ces courbes engendrent des systèmes {DJ, {D'J de 
degré 1 et d’indice 2 (*). 
La courbe D i , lieu des points qui représentent les couples de 
points de K contenant Q 4 , et sa transformée D[ sont inva¬ 
riantes pour 0 . B i passe par P 41 , P 12 et P 13 ; Dj passe par P 14 , 
P i3 et P 22 . 
Définissons de même les courbes D 2 , D 2 , D 3 , D 3 en relation 
avec les points Q 2 , Q 3 . D 2 passe par P 22 et y touche D 4 ; elle 
passe également par P 12 , P 23 . D 2 passe P 12 en y touchant D 4 , 
par P 22 et par P 33 . D 3 passe par P 33 en y touchant D 2 , par P 23 
et par P 13 en y touchant D 4 . Enfin, D 3 touche en P 14 , D 2 
en P 23 et passe par P 33 . 
Considérons le modèle bicanonique F 4 de la surface de Hum¬ 
bert relative à la quartique K, situé dans S 6 : Puisque 9 et T 
sont permutables et que F 4 représente l’involution engendrée 
sur 'F par T, il correspond à 9 une transformation de F 4 en 
elle-même, de période 7 et cette transformation permute entre 
elles les courbes bicanoniques, c’est-à-dire les sections hyper- 
planes de F 4 . Par suite, cette transformation est une homo¬ 
graphie H 4 , de période 7. Nous allons démontrer, en nous 
basant sur les résultats des paragraphes 2 et 3, que l’involu- 
tion I 7 , engendrée sur F 4 par H l5 est rationnelle. 
17. — Nous savons tout d’abord (paragraphe 3) que F 4 est 
une surface F particulière. 11 nous suffira de démontrer que H 4 
(*) Voir à ce sujet : F. Seveiu, Sulle superficie che rappresentano le coppie di 
punti di una curva algebrica. (Atti R. Accad.) Torino,1903. — Sulle corrispondenze 
fra i punti di una curva algebrica e sopra certe classi di superficie. (Mem. R. Accad.) 
Torino, 1903. 
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