appartenant à une surface algébrique de genre 5. 
points invariants isolés, il faut nécessairement que Rî, K 2 , R 3 
coïncident avec R 7 . 
Nous voyons donc que H 1 possède sept points invariants 
isolés, dont trois se trouvent sur F 4 . Par suite (§ 2), l’invo- 
lution I 7 est rationnelle. 
Uinvoiution d'ordre 14, engendrée sur W par T et 9, est 
rationnelle . 
18. — Soit maintenant l F* une surface image de l’invo- 
lution J 7 appartenant à la surface W. Puisque T et 9 sont per¬ 
mutables, il correspond à T une transformation birationnelle 
involutive T* de W* en elle-même. Cette transformation T* 
engendre une involution I 2 , d’ordre 2 , dont une surface image 
est en même temps une surface image de l’involution I 7 appar¬ 
tenant à F 4 . 
L’involution I 2 possède quatre points de coïncidence, corres¬ 
pondant aux quatre groupes de J 7 formés avec les 28 points 
invariants pour T sur *F. 
Nous venons.de démontrer que l’involution I 7 et, par suite, la 
surface sont rationnelles. Entre la surface rationnelle ( î > 1 et 
la surface W*, il existe donc une correspondance ( 1 , 2 ) présen¬ 
tant quatre coïncidences sur W*, c’est-à-dire quatre points de 
diramation sur 
Transformons la surface «Pj en un plan (birationnellement). 
Alors, aux quatre points de diramation correspondent quatre 
courbes rationnelles que nous pouvons toujours supposer être 
des droites. Il en résulte que W* se transforme en un plan double 
ayant une courbe de diramation formée de quatre droites. La 
surface W* est donc rationnelle ou réglée (*). Ce dernier cas ne 
peut se représenter, car il résulte d’une formule sur les surfaces 
(*) Castelnuovo et Enriques. Sulle condizioni di razionalità dei piani doppi. 
(Rend. Cïrcolo Matem. di Palermo. 1900.) 
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