RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS 203 
d’où, en négligeant les termes qui, par rapport à h , sont d’un 
ordre supérieur au premier, on tire 
f(? o 
/(* o) 
Cette formule exige la connaissance d’une seule valeur appro¬ 
chée de la racine et en même temps elle offre le moyen d’appré¬ 
cier l’approximation. Car on peut aisément se rendre compte de 
l’influence que peut avoir le premier terme négligé f (x 0 ) — . 
Par contre, la formule nécessite le calcul non-seulement de la 
fonction / (x ), mais encore de sa dérivée première f (x ), et il 
serait facile de citer des cas où l’évaluation de /' (x 0 ) est beau¬ 
coup plus longue que celle de f(x Q ). 
Géométriquement, la méthode de Newton revient à remplacer 
la courbe y—f(x) par sa tangente au point (æ 0 , y Q ). De ce fait 
il ressort immédiatement que dans certains cas, faciles à recon¬ 
naître, les valeurs successives de x, au lieu de tendre peu à peu 
vers leur limite, s’en écartent de plus en plus. 
3. La méthode de Horner est une modification très ingénieuse 
de la précédente. Elle s’applique seulement aux équations algé¬ 
briques ; mais dans ce cas elle se recommande surtout par la 
simplicité du procédé qu’elle emploie et par la facilité d’exercer 
un contrôle sur l’approximation atteinte. 
4. La méthode de Newton a encore été perfectionnée au 
moyen de la série de Maclaurin qui permet l’inversion de la 
fonction f(x). On obtient sans difficulté la formule 
/(*<>) [ /OOI 8 | 
° /'(*„)] [/'(^ o )] 3 2 
, f ( a o)/'"( x o) —3 [ /"(agp)] » [/(*o)P 
jl [/'WP 6 
et il serait aisé d’augmenter le nombre des termes de cette 
série. Chaque nouveau terme contrôle la valeur de x obenue 
par les termes précédents. Plus on prendra de termes, plus 
l’approximation sera grande. Mais en général on se bornera 
aux trois ou quatre premiers termes, vu que les calculs devien¬ 
nent de plus en plus pénibles. La circonstance que cette formule 
