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Géométrie algébrique. — Sur l’invariant de Zeulhen- 
Segre; par Lucien Godeaux, étudiant en mathématiques 
à l’Université de Liège. 
Dans ce travail, j’étends un théorème donné par 
MM. Castelnuovo et Enriques pour les surfaces aux va¬ 
riétés à trois dimensions, puis je recherche le genre des 
courbes de contact des éléments de deux systèmes con¬ 
tinus oo 1 de courbes sur une surface algébrique. 
1. — M. Segre a donné le théorème suivant (*) : 
Étant donné sur une surface algébrique F un faisceau 
homoloïde de courbes de genre p, doté de <r points de base et 
de 3 courbes possédant un point double, le nombre 
I = iï — a — bp 
est indépendant du faisceau choisi. 
MM. Zeuthen et Noether avaient rencontré cet invariant 
I dans des travaux antérieurs au mémoire de M. Segre, 
en considérant le système des sections planes d’une sur¬ 
face située dans un espace à trois dimensions (**). 
Dans un important mémoire (***), MM. Castelnuovo et 
Enriques ont donné une nouvelle expression de l’inva¬ 
riant t de Zeuthen-Segre, à savoir : 
Si l'on donne sur une surface F un faisceau de genre p 
(*) Intorno ad un carattere delle superficie e délié varièta supëfiori 
algebriche. (Atti di Torino, 1896, t. XXXI, pp. 485-6(1.) 
(**) Segre, loc. cit. 
(***) Sopra alcuneguestioni fondamentali nella teoria delle superficie 
algebriche. (Annali di Matematica, 1901, 3 e sér., t. VI, pp. 160-2-25.} 
