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formé par des courbes de genre p et doté de .8 courbes possé¬ 
dant un point double, l'invariant de Zeuthen-Segre a pour 
expression : 
I = 4( p — I) (p — 1) — 4. 
L’extension du premier théorème aux variétés à trois 
dimensions a été faite par M. Segre dans son travail cité; 
dans ce cas, on a le théorème : 
Étant donné sur une variété Y à trois dimensions un 
faisceau linéaire de surfaces dont l’invariant Zeuthen-Segre 
est I, doté d’une courbe de base de genre p et de k surfaces 
possédant un point double , l’expression 
Il A — 21 — 
ne dépend pas du faisceau considéré . 
Nous allons rechercher l’expression de II lorsque l’on 
part d’un faisceau irrationnel. 
2. — Soient donnés sur une variété algébrique V à 
trois dimensions un faisceau |F| de genre p formé par des 
surfaces dont l’invariant de Zeuthen-Segre est I, doté de 
A surfaces possédant un point double, et un faisceau 
linéaire |F'| formé par des surfaces F' de caractère F, 
possédant une courbe base C de genre p et A' surfaces à 
point double. 
Les surfaces F' marquent sur une surface F fixe un fais¬ 
ceau rationnel de courbes; le nombre 8 de ces F' qui 
touchent la F est donné par la formule 
ïï = I -+- n -f- 4 tu, 
n étant le nombre de points communs à la surface F et à 
