( 3.38 ) 
la courbe C, tz le genre de la courbe commune à deux 
surfaces F, F'. 
Lorsque la surface F varie dans |F|, ces o points décri¬ 
vent une courbe T de genre t dont on connaît par consé¬ 
quent une involution irrationnelle d’ordre o et de genre p. 
D’après une formule classique due à M. Zeuthen, cette 
involution possède des points doubles en nombre 
2 (*_<)_ 2^-1). 
Ces points doubles proviennent des x couples de sur¬ 
faces F, F' qui ont un contact supérieur, ou des A sur¬ 
faces F possédant un point double, ou des surfaces F qui 
osculenl la courbe c; donc 
2(t — 1) — L 2$\p — I) = A * + 2(/> —1)—2n(p — 1) 
ou, en remplaçant o par sa valeur, 
A+2( P — 1)1 1) = 2(t— I ) — 8(p — 1 )tu.—*. (1) 
Les F marquent sur une F 7 quelconque un faisceau 
irrationnel, et le nombre à' des surfaces F qui touchent la 
F' est donné par le théorème de Castelnuovo-Enriques 
rappelé plus haut : 
<r= F — 4(p — i) (tu —— 1 ) -I- 4. 
Lorsque la F' décrit le faisceau |F'|, ces 8' points décri¬ 
vent la courbe T dont on connaît maintenant une série 
linéaire. Le nombre de points doubles de cette série 
provient des x couples de surfaces F, F' qui s’osculenl et 
des A' surfaces F' possédant un point double; donc 
2(<T r — 1 ) ===== A' -4- x* 
