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En remplaçante' par sa valeur, cette formule s’écrit : 
A' — 2F — 2(t — 1) 8(p - 1 ) (- — I) h- 8 — *. (2) 
Par soustraction de (1) de (2), on obtient 
A + 2( p — -I ) (I -h 4) + 6 = A' — 2P — 2p. 
Or l’invariant de Zeulhen-Segre de V est 
Il = A — 2F — 2p ; 
donc : Étant donné sur une variété algébrique V à trois 
dimensions un faisceau de genre p formé par des surfaces 
d’invariant de Zeuthen-Segre 1 et doté de A surfaces possé¬ 
dant un point double , Cinvariant de Zeuthen-Segre de X a 
pour expression : 
Il = A 2 (p — !)(!-+ 4) + (5. 
3. — Soit F une surface régulière (P a == P g ). Sur 
cette surface on donne deux systèmes continus oc 1 JCJ, JC'j 
respectivement d’indices v, v', formés par des courbes de 
genres p, p' et dotés de a-, a-' points de base. Il y a oo 1 
couples de courbes C, G' qui se louchent; les points de 
contact décrivent une courbe T dont nous allons recher¬ 
cher le genre t dans le cas de v ^ v'. 
Rappelons que, par un théorème de M. Enriques (*), 
les courbes tracées sur une surface régulière se distribuent 
(*) Sulla proprietà caratteristica dette superficie algebriche irrego- 
lari. (Rendiconto delle session! della r. Accad. di Bologna, 1904- 
1905, t. IX.) 
