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D’où enfin 
S\ n _ r == 0. c. q. f. d. 
IV. — Le système complet (1) possède des invariants 
intégraux 1 — uple, , (n —• r) — uple (*). 
En effet, ce système (1) possède (n — r) invariants 
distincts; de ceux-ci on pourra déduire les invariants 
intégraux : 
'■ h/tf 
I„_, =j s U • • • °7—r c. q. f. d. 
Généralisation de deux théorèmes de la théorie 
des tourbillons. 
V. — Pour que tout invariant du système complet (1) 
se conserve ou reste un invariant pendant le déplacement 
il faut et il suffît qu’on ait 
(8) ApB/’— BA p f = ^apP\ s f p =1, ... r. 
De cette proposition de Lie, dont on trouvera une 
(*) Il me semble très probable que le système complet (1) possède 
aussi, quand r < n, un invariant intégral (n — r + 1) — uple ; cet 
invariant serait une différentielle exacte. — Il serait facile de démon¬ 
trer que ce système complet (r > 1) ne possède pas, en général, 
d’invariant intégral n — uple et qu’il ne possède aucun invariant, si 
r = n. 
