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Géométrie. — Sur la démonstration du postulatum 
d’Euclide; par P. Mansion, membre de l’Académie. 
Soient AA', BEP deux perpendiculaires à une même 
droite AB, d’un même côté de celle-ci, AD une droite 
joignant le point A à un point D de BB 7 , CD un arc de 
circonférence décrit de A comme centre avec le rayon AD 
et rencontrant A A 7 en C. 
Si l’on admet que l’on puisse prolonger une droite 
indéfiniment, on peut faire, relativement 
à l’angle BAD, quand BD croît indéfini¬ 
ment, les deux hypothèses suivantes : 
\° Cet angle a pour limite un angle 
droit, autrement dit, AA 7 est la position 
limite de AD. Dans ce cas, on ne peut 
mener par A que la seule droite A A 7 
ne rencontrant pas BB', et l’on peut dé¬ 
duire de là, comme on le sait, la démonstration du 
postulatum d’Euclide; 
2* L’angle BAD a pour valeur limite un angle BAI 
inférieur à un droit. Dans ce cas, on peut mener par A 
un nombre indéfini de droites qui ne rencontrent pas 
BB 7 . On trouve alors, comme l’a prouvé Lobatchefsky, 
en choisissant convenablement les unités, 9 désignant 
une fraction, 
aire ACD = 2 . angle CAD . Sh 2 { AC, 
aire A BD = Q . angle CAD. 
On a donc 
ABDC 2CAD.Sh 2 iAC + 0 . CAD f d 
ACD 2CAD . ShH AC = ^ Tsh^AC’ 
