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Nous pouvons démontrer immédiatement que (H) est 
la bisécante unique que Con peut mener à r 3 par le pôle du 
plan P. 
En effet, l’hyperboloïde (AJ^) est coupé par le plan P 
suivant la droite (Aj) et la droite Ai du second mode de 
génération; cette dernière s’appuie sur toutes les géné¬ 
ratrices du même mode que (Aj); elle s’appuie donc en 
particulier sur la tangente (L^), et cela au point À 4 , et 
sur (H); elle passe ainsi par le point de percée de (H) et 
de P. 11 en est de même des génératrices A ' 29 Ai des 
hyperboloïdes (A 2 L 2 ), (A 3 L 3 ). 
Le plan des droites Ai et (L 4 ) coupe l’hypèrboloïde 
(kiLj) suivant les droites Ai et (L 4 ) et, comme F 3 est 
tracée sur cet hyperboloïde, c’est sur ces droites seule¬ 
ment que ce plan rencontrera la courbe; mais Ai n’est 
pas bisécante de E 5 et (L*) est une tangente; le plan con¬ 
sidéré est donc osculateur à F 3 en \ l . 
Les trois droites Ai, A' 2 , A3 sont donc dans les plans 
osculateurs en A 1? A 2 , A 3 . Le point de percée de (H) et 
du plan P est par conséquent le pôle de celui-ci. 
— Il résulte de ce qui précède que les trois rayons de 
la congruence, appartenant à un plan quelconque de 
l’espace, ont pour images les sommets d’un triangle cir¬ 
conscrit à C 2 ; le point H est l’image du rayon qui passe 
par un point de l’espace. Donc, la relation de pôle à plan 
polaire, par rapport à T 3 , qui unit l’ordre et la classe de 
la congruence a pour image la relation qui unit le point H 
au triangle A 4 A 2 A 3 . 
12. — Voici actuellement quelques exemples permet¬ 
tant d’apprécier les secours que la géométrie plane et la 
géométrie de la cubique gauche se prêtent mutuellement 
pour la solution de certains problèmes. 
