( 1898 ) 
sera développable (cela a été établi précédemment); 
si m = 0, la nappe S y se réduira à une courbe [comme le 
montre une des équations du système (D)]. Or cette 
dernière hypothèse ne peut être faite, car lorsque m = 0, 
le tétraèdre de référence P y P ; P p P 7 est partiellement indé¬ 
terminé; en effet, les coordonnées du point P^ se pré¬ 
sentent sous forme indéterminée (*). Le théorème est 
exact néanmoins : si la nappe S y se réduit à une courbe, 
le premier complexe de M. Waelsch est spécial. Appli¬ 
quons, en effet, à la congruence une transformation par 
dualité; aux nappes S y et S. de la surface focale corres¬ 
pondront respectivement les nappes S- et S y (**) de la 
surface focale de la transformée. Au complexe de 
M. Waelsch relatif à la nappe S y correspondra le com¬ 
plexe de M. Waelsch relatif à la nappe S y , et comme S~ est 
développable, ce dernier sera spécial; il en sera donc de 
même du premier. 
Signalons encore, parmi les résultats obtenus dans ce 
paragraphe, les conditions pour qu’une congruence 
appartienne à un complexe linéaire non spécial (***). 
(*) Pour éviter cette difficulté, on pourrait prendre comme tétraèdre 
de référence le tétraèdre ayant pour sommets les points P y , P- et les 
points d’intersection des plans osculateurs aux courbes décrites par 
les points P,,, P.-, lorsque u et v varient respectivement, avec les 
tangentes à ces courbes. Ce tétraèdre est déterminé lorsque aucune 
des nappes S y , S * n’est développable. 
(**) Nous adoptons cette notation parce que l’auteur désigne, au 
§ 4. par Z'*) et (k == 1, 2, 3, 4) les coordonnées des nappes qui 
correspondent par dualité aux nappes S ÿ et S*. 
(***) En se servant du système (D), on trouve facilement les condi¬ 
tions nécessaires et suffisantes pour qu’une congruence appartienne 
à un complexe linéaire spécial : Pour que P v décrive une droite , il 
faut et il suffit que l’on ait m = b -= d — 0. Pour que P* décrive une 
droite, il faut et il suffit que l'on ait n = a' = d' = 0. 
