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nant à F appartient au complexe L,> donc sa conjuguée 
par rapport à L* V1 appartient au complexe L îV2 ; or, elle 
appartient à L^, donc elle coïncide avec sa conjuguée; 
elle appartient dès lors à L,* +2 ; par suite L ï+2 appartient 
au faisceau déterminé par L* et L,- +1 . 
L’auteur termine le paragraphe 11 en déterminant, 
parmi les congruences F 0 considérées plus haut, celles qui 
correspondent à leur première transformée de Laplace 
dans une transformation projective. Voici les résultats 
auxquels il parvient. Si a 2 + 4 n’est pas nulle, les 
nappes S y , S 3 de la surface focale de F 0 sont des qua- 
driques qui ont un quadrilatère commun. Dans le cas 
où a 2 + 4 =- 0, deux des côtés de ce quadrilatère coïn¬ 
cident; en d’autres termes, les deux quadriques se rac¬ 
cordent le long d’une génératrice et ont deux autres 
génératrices communes. 
On a vu que l’auteur fait dépendre de l’équation aux 
dérivées partielles des surfaces à courbure totale constante 
la détermination des congruences F 0 qui appartiennent à 
un complexe linéaire et dont la première transformée de 
Laplace T i appartient aussi à un complexe linéaire (non 
spécial). Nous possédons ce résultat depuis longtemps et 
voici comment nous l’avons établi dans une lettre que 
nous avons eu l’honneur d’écrire à M. G. Darboux il 
y a quelques années. 
Soient S une surface quelconque et S' la surface qui 
lui correspond dans la transformation de Lie qui change 
les sphères en droites ('). Soient, sur les surfaces S et S', 
(*) En réalité, à la surface S correspondent, on le sait, deux sur¬ 
faces S', S" polaires réciproques par rapport au complexe linéaire 
L 0 qui sert à définir la transformation de Lie, mais, pour plus de 
netteté, nous n’envisageons que l’une d’elles S'. 
