( 1206 ) 
M et M' deux points correspondants. A une sphère 
variable S tangente à S en M correspond une tangente 
d à S' en M'; la ponctuelle décrite par le centre de S est 
projective au faisceau engendré par la droite d. Envisa¬ 
geons, en particulier, parmi les sphères 2, les sphères 
principales la sphère du rayon nul £ 0 et la sphère 
harmonique 2 /r Soient d 4 , d 2 , d 0 , d h les droites qui leur 
correspondent. Les droites d 1? d 2 sont les tangentes 
asymptotiques de S' et d 0 est la tangente de S' qui 
appartient au complexe linéaire L 0 . Comme les cen¬ 
tres des sphères S 4 , X 2 » forment une division 
harmonique, le faisceau des droites d it d 2 , d 0 , d h est 
harmonique; par suite, les droites d 0 et d h sont des tan¬ 
gentes conjuguées de SC 
M. Darboux a établi (*) que la surface S est isother¬ 
mique lorsque les lignes de courbure se correspondent 
sur les deux nappes de l’enveloppe de h h et dans ce cas 
seulement. Dès lors, pour que la surface S soit isother¬ 
mique, il faut et il suffit que la congruence T engendrée 
par la droite d h soit W. On peut donc faire correspondre 
à toute surface isothermique S une congruence F 0 (Heu de la 
droite ô 0 ) appartenant à un complexe linéaire non spécial L 0 
et tel que sa première transformée de Laplace F, soit W et 
vice-ver sa (**). 
(*) Comptes rendus, 1899. 
(**) D’après ce qu’on a vu plus haut, les congruences F 0 et F t sont 
définies par les relations (148), (149) et (154). En éliminant a et b ' 
entre ces dernières, on trouve 
^ 2 çp uu -+• Puv ^ D 
dudv <P àu ‘ 1 
4 
D 
Telle est l’équation dont on peut faire dépendre la détermination 
des congruences considérées et, par suite, celle des surfaces isother¬ 
miques. 
