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Lorsque ï\ appartient à un complexe linéaire non 
spécial L lf la sphère l h coupe une sphère fixe F sous un 
angle constant différent de zéro. Envisageons maintenant 
la métrique non euclidienne dans laquelle la sphère F 
est la quadrique fondamentale et soumettons la surface S 
(considérée comme appartenant à l’espace euclidien) à la 
transformation de M. Darboux (*). A la surface S corres¬ 
pondra une surface S 4 ; au point M, un point M*; à la 
sphère harmonique la sphère harmonique de Sj en M 1? 
et le rayon de cette dernière sphère sera constant (**). 
Par suite, la surface Si aura sa courbure moyenne non 
euclidienne constante. Ce résultat a été donné sans 
démonstration par M. Servant (***) qui a, en outre, 
démontré que la principale difficulté de la détermination 
des surfaces non euclidiennes à courbure moyenne 
constante consiste dans l’intégration de l’équation aux 
dérivées partielles des surfaces à courbure totale eucli¬ 
dienne constante. Ajoutons que, lorsque cette intégration 
aura été effectuée, il faudra encore, pour obtenir les 
surfaces considérées, intégrer deux équations de Riccati 
aux différentielles totales. C’est, on le voit, un résultat 
équivalent à celui qui a été obtenu par l’auteur. 
Dans le cas, envisagé plus haut, où la congruence r 4 
appartient à un complexe linéaire spécial, la sphère h h 
(*) G. Darboux, Leçons, III e partie, p. 492. 
(**) En effet, si l’on soumet une sphère à la transformation de 
M. Darboux, le rayon de la sphère transformée ne dépend que de 
l’angle sous lequel la sphère primitive coupe la sphère fondamen¬ 
tale F. 
(***) Comptes rendus de VAcadémie des sciences de Paris, t. GXXXI, 
p. 827,1900. 
