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Aux idées permanentes de courbes et de surfaces, 
s’associent la notion de la forme dépendant essentielle¬ 
ment des conditions physiques dans lesquelles nous 
observons les mêmes objets. Mais, si nous arrêtons les 
conditions de l’observation, nous percevons individuelle¬ 
ment, à chaque instant, une forme déterminée et nous 
constatons aussi la difficulté de la faire connaître à ceux 
qui ne l’ont pas perçue dans les mêmes circonstances. 
La géométrie introduit des éléments parfaits, en ce 
sens qu’ils sont susceptibles d’être nettement caracté¬ 
risés. Les mots qui présupposent toujours des idées, ne 
peuvent pas servir à définir toute chose; ainsi, certains 
éléments, tels la ligne droite, l’angle de deux lignes, 
sont indéfinissables directement; on montre alors des 
représentations physiques qui en provoquent la notion 
idéale. Les relations des éléments fondamentaux sont 
fixées par des axiomes ou postulats, compatibles entre eux 
et choisis de manière que leurs conséquences s’accordent 
avec les suggestions de l’intuition. L’étude critique des 
axiomes ou postulats présente une importance considé¬ 
rable au point de vue de la philosophie des mathéma¬ 
tiques; elle exige une nouvelle abstraction s’ajoutant à 
l’abstraction des concepts mis en question; il faut alors 
parler de « choses » (c’est le mot de M. Hilbert), en leur 
donnant des noms et des attributs, mais en décidant de 
ne pas se les représenter. 
L’arithmétique fait à l’expérience des emprunts plus 
minimes encore que ceux de la géométrie; elle demande 
seulement la notion des nombres entiers que suscitent 
les collections d’objets, identiques entre* eux ou diffé¬ 
rents. Le procédé de récurrence (ou par échelons), 
