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symboles, comme s’ils désignaient des nombres véri¬ 
tables et comme si i était lui-même un nombre, puis en 
remplaçant dans tous les résultats le carré de i par — 1, 
suivant un procédé mnémonique purement machinal. La 
confusion d’un procédé de simple écriture avec un pro¬ 
cédé de raisonnement avait fait rejeter anciennement, 
comme dénuées de sens, les expressions A îB, parce 
qu’il n’y a pas de nombre i susceptible d’être représenté 
par V — \, c’est-à-dire d’avoir pour carré l’unité néga¬ 
tive. Cependant, ces expressions, qualifiées imaginaires, 
avaient apparu, par une sorte d’expérience, à l’occasion 
de la résolution de certaines équations du second degré 
et précisément à cause de la permanence des lois arith¬ 
métiques qui leur donne une vie. 
La paraphrase des règles d’opérations relatives aux 
nombres entiers ne permet pas la création indéfinie de 
symboles auxquels le calcul usuel soit applicable; au 
total, il y a seulement à considérer les nombres réels 
(positifs ou négatifs) et les nombres imaginaires formés 
au moyen de deux nombres réels. Dans d’autres cas, les 
symboles se relusent à assurer la permanence des lois 
élémentaires. Ainsi, pour les symboles appelés quater- 
nions, qui impliquent la considération de quatre nom¬ 
bres, le symbole figurant le produit de deux symboles se 
modifie avec l’ordre des pseudo-facteurs. 
Le luxe d’abstraction qui apparaît dans la notion géné¬ 
rale de nombre n’est pas une prodigalité, mais une 
nécessité, car la mathématique moderne a exigé une 
critique sévère qui a dû remonter jusqu’aux premiers 
éléments, considérés avec la plus grande extension 
possible. 
Le domaine du nombre pénètre celui de la géométrie, 
