Cl. Servais. — Sur la Géométrie du Tétraèdre. 
3. L’équation (1) après division par 1 -|- X est du quatrième 
degré relativement au paramètre X. La condition d’orthogonalité 
de la sphère (P) et d’une sphère donnée, linéaire par rapport 
aux coefficients des équations de ces surfaces, est aussi du 
quatrième degré par rapport au paramètre X. La droite d coupe 
les faces du tétraèdre AB CD aux points A\ B', C', D' dont les 
sphères podaires sont celles décrites sur les segments AA\ B B', 
CC', DD' comme diamètres. Ces sphères ont même axe radical 
(théorème de Serret). Cet axe coupe le plan radical des sphères 
(AA') et (P) en un point w, centre d’une sphère (w) qui 
coupe orthogonalement les sphères podaires des cinq points 
A', B', C', D', P de la droite d. La condition d’orthogonalité 
de cette sphère (w) et d’une sphère podaire d’un point de la 
droite d est donc satisfaite pour cinq valeurs du paramètre X 
et, par suite, pour toute valeur de ce paramètre. Il en résulte que 
Les sphères podaires des points P d'une droite d donnée rela¬ 
tivement à un tétraèdre AB CD coupent orthogonalement une 
même sphère (w). 
Le lieu des conjugués isogonaux P' des points P de la droite d 
est une cubique gauche circonscrite au tétraèdre AB CD; donc 
Les sphères podaii^es des points d'une cubique gauche circon¬ 
scrite au tétraèdre AB CD coupent orthogonalement une même 
sphère (*). 
4. Si la cubique gauche appartient à la surface de Cayley, 
la droke d conjuguée isogonale de cette courbe est à l’infini. 
Soient P un point de la cubique; P' son conjugué isogonal situé 
sur d ; S le pôle de d relativement au cercle imaginaire à l’infini. 
(*) Les propriétés analog-ues dans la Géométrie du triangle sont dues à 
T. Lemoyne, Nouvelles Annales de Mathématiques (4), IV, 1904, p. 400. 
J. Neuberg, Bulletin de VAcadémie royale de Belgique, juillet-août 1910. 
E. Liénard, Mathesis, 1912, p. 238; 1914, p. 33. 
P. de Lepiney, Mathesis, 1914, p. 177. 
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