Cl. Servais. — Sur la Géométrie du Tétraèdre. 
Ce point w est Vortiiocentre du pentaèdre orthocentrique 
(apyScrJ. 
Réciproquement ( 1 ), 
Un pentaèdre orthocentrique est osculateur à une parabole 
gauche orthogonale dont la directrice passe par T orthocentre. 
3 . La droite joignant un sommet (a^agag) du pentaèdre ortho¬ 
centrique (a^a2a3a4a5) à l’orthocentre O est normale à l’arête 
opposée il existe donc une sphère (O) de centre O telle 
que le plan polaire du point (a^agag) passe par la droite 
cette condition la détermine. L’arête contient trois sommets 
(a^^a^ag), (aga^ag), (aga^ag) dont les arêtes opposées a2a3,a3a^, a^ag 
passent par le sommet (a^ agag). Le plan polaire du point (a^ a^ag) 
relativement à la sphère (O) contient le point (a^agag) et passe 
par la droite agag normale à la droite joignant les points O 
et (a^a^GCg). Ainsi les plans polaires des sommets (a^a^ag) 
(aga^ûCg) (aga^ag) relativement à la sphère (O) passent respective¬ 
ment par les arêtes agag, aga^, a^ag. De proche en proche on 
voit aisément que les plans polaires des sommets restants 
jouissent de la même propriété. Ainsi, 
Un pentaèdre orthocentrique est autopolaire relativement 
à une sphère. Le centre de la sphère est Tortliocentre du 
pentaèdre. 
Le mot autopolaire est pris dans ce sens qu’un sommet et 
l’arête opposée sont deux éléments conjugués par rapport à la 
sphère (*). 
Soient , Bg, Bg, B4, Bg les pôles des faces «4, ag, ag, a4, ag 
du pentaèdre orthocentrique relativement à sphère (O). La 
droite B^Bg conjuguée à l’arête a4ag passe par le sommet 
opposé (a2aga4); donc les tétraèdres réciproques a4a2a3a4, 
B4BgB3B4 ont pour centre de perspectivité le point Bg. La 
(*) P. Serret, Géométrie de direction, p. 56. — Th. Keye, Journal de Crelle, 
1874, p. 269. 
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