CL Servais, — Sur la Géométrie du Tétraèdre. 
est un pentaèdre {aL^ci2a^a^a^) conjugué à cette sphère et, par 
suite, orthocentrique. Les plans a^, ag, a^, sont oscula- 
teurs à une parabole gauche orthogonale dont la directrice passe 
par l’orthocentre O. Par conséquent. 
Un pentagone orthocentrique est inscrit dans 
une hyperbole gauche équilatère passant par Torthocentre O. 
La sphère (O) conjuguée au pentagone est Tassociée de 
Totthocentre O relativement à chacun des cinq tétraèdres formés 
par les points B^, Bg, Bg, B4, Bg. 
Cette sphère est circonscrite à une quadrique de révolution 
conjuguée au tétraèdre B4B2BgB4; le sommet restant Bg est le 
pôle de contact. 
6. Cinq points B4, Bg, Bg, B4, Bg d'une hyperbole gauche 
équilatère sont les sommets d’un pentagone orthocentrique. 
En eiïet, le point Bg appartient à Fhyperboloïde des hauteurs 
h^, h^, h^, h^ du tétraèdre B4B2B3B4. La directrice du système 
réglé [hji^h^hfj issue du point Bg rencontre la courbe en un 
second point O (*). Ce point est le centre d’une sphère (O) telle 
que les tétraèdres B4B2BgB4, a4a2aga4 réciproques par rapport 
à cette sphère soient homologiques; le point Bg est le centre 
d’homologie; le plan d’homologie ag, plan polaire de Bg relati¬ 
vement à la sphère, est oscillateur à une parabole gauche ortho¬ 
gonale osculatrice au tétraèdre a4a2a3a4. Le pentaèdre 
est donc orthocentrique et le pentagone B4B2BgB4Bg jouit de 
la même propriété. 
Corollaire. — La droite qui joint Torthocentre O d'un pen¬ 
tagone orthocentrique B4B2BgB4Bg à l'un quelconque des som¬ 
mets est une directrice du système réglé des hauteurs du 
tétraèdre formé par les quatre sommets restants. 
(*) Un groupe de trois Tétraèdres biologiques cayléens. (Bulletin de i/Académie 
ROYALE DE Belgique, 1921, p. 311.) 
107 
