entre deux surfaces de genres 1 . 
de TT — 3, car, d’après le théorème de Bachet, tout nombre 
entier est égal à une somme de quatre carrés au plus, à fortiori 
à une somme de huit carrés au plus (*). 
Observons que, u étant impair, iz — 3 est pair, et, par suite, 
il y a ao plus un nombre pair de nombres a^, ..., olj^ impairs. 
En d’autres termes, la somme de ces nombres est paire et nous 
poserons 
«i + ^2 H-= 2a. 
3. Considérons les courbes 
= a^C — (af + 1)Ci — «^«2^2-- 
C2 = agC — aia2Ci — (a| + i) Gg-G^, 
G= a^ G ~~ a^^a^ G^^ ■ G 2 — * * * ~—1 ) • 
Nous allons démontrer que ces courbes existent et sont ration¬ 
nelles. A cause de la symétrie, il nous suffira d’ailleurs de faire 
le raisonnement pour G{. 
Observons tout d’abord que CJ rencontre G en (2 tc — 2 )a^ 
points. Ï1 nous suffira donc de montrer, pour prouver l’exis¬ 
tence de GJ, que le nombre de conditions auxquelles est assujettie 
une courbe a^G devant contenir (a^-]-1) fois C^, a^a^ fois 
Cg, ffiis n’excède pas la dimension du système 
linéaire |a^G| (certainement existant). 
Observons que C^ est fondamentale pour | G |, donc pour 
|a^G|. Par suite, contenir une fois G^ pour a^G équivaut à une 
condition. Les courbes a^ G — G^ rencontrent G^ en deux points ; 
donc contenir une fois G^ pour la courbe a^G — C^ équivaut à 
trois conditions. Plus généralement, a^G — (^G^ rencontre G^ 
en 2j3 points; donc contenir une fois G^ équivaut, pour la 
(*) Voir, au sujet de Tutilisation du théorème de Bachet dans l’étude des surfaces 
de genres un, un Mémoire de M. Severi, Le superflde algebriche con ciirva canonica 
d'ordine zéro. (Atti del R. Istituto Veneto, d909, LXVIII, pp. 249-260.) 
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d922. SCIENCES. 
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