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L. Godeaux. — Sur les correspondances rationnelles 
système | (tt — 3 — a)G-f-Co dont l’existence est certaine). Ces 
courbes CJ sont de degré — 6, de genre tu—2 et la dimension 
de |Co| est tt —2. De plus, îes courbes CJ rencontrent les 
courbes G^ en —2 points. 
Gomparant les systèmes |G'|, jG^I et les courbes Gj,..., 
G[, G^+i,..., Gg, on trouve immédiatement la relation fonc- 
tionnelle 
2 Cq + Cl Cr -j- • • • + CJj -j- • -P Cs = 2 C^ 
G’est précisément la condition nécessaire et suffisante pour 
qu’il existe une surface de genres 1 contenant une involution 
d’ordre 2, dont F est l’image, les courbes de diramation étant 
GJ,..., G^, ..., Gg (courbes qui peuvent être ramenées, 
par transformation birationnelle de F, à des points doubles 
coniques). 
On voit donc que F représente deux involulions d’ordre 2, 
appartenant à des surfaces de genres 1, et ces involutions sont 
certainement distinctes, puisque les courbes GJ, ..., G[ sont cer¬ 
tainement distinctes des courbes G^, ..., G^.. Le théorème I est 
donc démontré. 
O 
Observation L — A chaque décomposition de tz — 3 en 
somme de k[<S) carrés correspondront plusieurs involu¬ 
tions nouvelles, obtenues en permutant les rôles des courbes 
G^, ..., Gg. 
Observation II. — Si nous prenions comme valeur commune 
des rapports (1) (n"" 4) un entier [jl, cela reviendrait à rem¬ 
placer j G'I par jpvGM et nous n’obtiendrions pas d’involution 
nouvelle. 
6. Examinons le cas le plus simple, tu = 5. Nous avoas 
TU — 3=1+1, et, par suite, la surface F représente i + (^) = 29 
involutions d’ordre 2, appartenant à des surfaces de genres 1. 
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