entre deux surfaces de genres 1, 
Les courbes rationnelles de diramation de ces diverses involu- 
tions sont 
lo 
Csj C 3 , C 4 , G 5 , 
Ce, 
C7, 
c,; 
2° 
C — 
2Q — 
Cj, C — 2 C 2 — Cl, 
Gs J 
29® 
C2, 
C„ c —2C,— 
G — 
2Cs- 
■ c,. 
Deux de ces involutions auront toujours deux courbes de 
diramation différentes. 
n 
7. Soient <ï>, F deux surfaces de genres 1 Hées par une 
correspondance (1, n). Soit, sur un système linéaire |r|, de 
genre 7 î(> 2), de degré — 2 et de dimension u, dont la 
courbe générique ne passe pas par les points de diramation de 
la correspondance. 
Aux courbes de |r| correspondent, sur F, des courbes Gq, 
de genre n(7r—j) -f-'L de degré —i), formant un sys¬ 
tème I Cq I de dimension tc. On sait que | Gq | appartient à un 
système | G|, complet, de dimension n(7r — 1) + 1, les courbes 
G, Gq ayant d’ailleurs mêmes genre, degré et ordre. Les trans¬ 
formations birationnelles de F en elles-mêmes, génératrices 
de l’involution, déterminées par la correspondance sur F, trans¬ 
formations dont nous avons démontré l’existence dans nos 
travaux cités, opèrent sur les éléments de |G| comme des 
homographies. Gomme on a n > i, n(T:-l)+l > TC, il doit 
exister, dans | G |, quelques systèmes partiels | G^ |, | Gg |, ..., 
I Gy^. I, distincts de | G^ |, et composés avec l’involution envisagée. 
Désignons par |r^|, Ir^j, ..., |r^^| les systèmes linéaires 
•correspondants sur <ï>. Observons que la courbe Gq générique 
ne passe pas par les points de coïncidence de l’involution ; par 
suite, les courbes G^, Gg, ..., Gy^ rencontrent une courbe Cq en 
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