L. Godeaux. — Sur les correspondances rationnelles, etc. 
2ln(7r — i) points. Il en résulte que les courbes Tg, ..., F^^ 
rencontrent les courbes F en ^tu — 2 points. 
Soient r^, ..., les dimensions respectives des systèmes 
linéaires IrJ, jr^l, |I\| (ou |Gi|, jOgl, IC^l). 
D’après la théorie des homographies, on a 
H- H-h + ^ + + I = n(7z — 1) + % 
ou 
+ ^2 + — ^C+l. 
D’autre part, la série d’ordre —2, découpée sur une 
courbe F par les courbes F^, par exemple, est non spéciale, 
sans quoi les courbes F^^ appartiendraient au système |r|, ce 
qui est absurde. De plus, par un groupe de cette série, il ne 
passe qu’une courbe F^^, sans quoi les courbes F appartiendraient 
à |Fj, ce qui est absurde. 
La série d’ordre 2?^—2 envisagée, étant non spéciale, a la 
dimension ti — 2; par suite, on a 7\<7î —2. 
De même, on a ^^<7:—2,..., et, par suite, 
+ ^2 H- k(7z — 'i). 
Tenant compte de l’égalité précédemment établie, on en 
déduit 
(n — l)7u — n — k 1 < k{Tz — 2), 
ou 
n(7U — 1) —(tt —1)< /^(77 —1); 
d’où, comme tt — 1 >0, k^n —1. 
Par la théorie des homographies, on sait que A:</i — 1. Par 
suite, on a k=7i —i et, de plus, = ^ • •=r^=^T ,—2. 
Un système linéaire complet tracé sur une surface de genres 1 
ayant le genre et la dimension égaux, et les systèmes | F^ |,..., 
|1\. I étant nécessairement complets, notre second théorème est 
complètement établi. 
Bruxelles, 22 février 1922. 
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