G. Fichlenholz, — Noie sur les fondions absolument conlinues. 
Si l’on veut faire dans l’intégrale 
F(x) = J "/■(*) /, 
la substitution x = ^ (t) (où cp est aussi une fonction absolument 
continue), on est conduit à étudier la question de savoir si la 
fonction [t] = F fcp (/)], composée de fonctions absolument 
continues, l’est aussi elle-même; on sait les cas où il n’en est pas 
ainsi (*). 
Cette question fait l’objet de la Note présente. 
2*" Soient F [x] une fonction absolument continue de x dans 
[a, b) et cp [t) une fonction absolument continue de t dans (a, p), 
qui varie entre a et h quand t varie entre a et p. Prenons un 
système d’intervalles (a^, n’empiétant pas et tous contenus 
dans (a, P), et posons 
ai = f ( ai ), bi = cp(Pi). (i = 1, 2, n ). 
Pour la fonction composée <î> {t) = F [cp (^)] nous aurons 
(1) 2] ! 1 = 2! P W - !■ 
i—l 'i=i 
La somme 
l=n i=n 
2 ' «i I = 2 i I 
i=i i=i 
est aussi petite que l’on veut, avec la somme 
i—n 
X i P* ~ I • 
Quelles conditions suffit-il d’imposer à F ou à cp pour que la 
somme (1) le soit en même temps? 
(*) Voir Ch.-J. de la Vallée Poussin, Sur l’Intégrale de Lebesgue (Transactions 
OF THE American Mathematical Society, vol. XVI. 1915, pp. 435-501); p. 462, note; 
C. Carathéodory, Yorlesungen uber reelle Funktionen, p. 554. 
1922. SCIENCES, 
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