(L FkJUenholz. — }iole sur les fondions absolument continues. 
!l en est ainsi, par exemple, si la fonction cp [t) est monotone, 
en sorte que les intervalles (a^, bf) sont aussi non empiétants (* (**) ). 
Nous allons étudier, dans le n® 3, la famille de toutes les fonc¬ 
tions [ t ) jouissant de la même propriété : quelle que soit la 
fonction absolument continue F (,r), elle ne cesse pas de l’être 
lorsqu’on y fait la substitution x = (d [t). 
D’autre part, la fonction cp étant quelconque, la continuité 
absolue de d> (t) subsiste évidemment, si la fonction F (x) non 
seulement est absolument continue au sens défini plus haut, 
mais l’est aussi au sens étroit, qui correspond à la suppression, 
dans la définition ancienne, de la restriction que les intervalles 
(u^, bf) n’empiètent pas. Tel est, par exemple, le cas où la fonc¬ 
tion F (x) a ses nombres dérivés bornés ou, ce qui revient au 
même, satisfait à la condition de Lipschitz : 
(^) 1 ¥ {x -f II) — ¥ (x) I < M .\ Il \ (M étant constante ; a<x, x-¥li< b), 
, comme cela résulte immédiatement de l’inégalité 
i— t=n 
i=l /—I 
Nous allons montrer d’ailleurs (iF 4) que la propriété exprimée 
par la relation (^) et la continuité absolue au sens étroit 
(comme on vient de la définir) sont complètement équivalentes. 
Puis, dans le n'’ 5, nous verrons que les fonctions satisfaisant 
à la condition de Lipschitz sont les seules qui possèdent la 
propriété, que toute substitution x = (d (t) (cp étant absolument 
continue) les laisse absolument continues. 
Le dernier numéro est consacré à quelques remarques sur 
l’intégration par substitution.^ 
(*) Ch. -J. DE la Vallée Poussin, Mém. cit. (*), p. 462 , o». 
(**) ID., ïbid. (*), p. 462 , 4 o. 
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