G. Fichtenholz. — Noie sur les fondions absoluménl conlinues. 
3® Le théorème de M. de la Yallée Poussin, cité (*), est 
susceptible d’une généralisation presque immédiate que voici : 
Les fonctions F(x) et (p(t) étant absolument continues, 
supposons en outre que 
La fonction (p(t) prendune valeur quelconque Xq endespomts 
discrets ou dans des intervalles de stationnement, dont le 
nombre total reste inférieur à une limite fixe k, quel que 
soit Xq (**). 
Dans ces conditions, la fonction d>(t) = F(cp(t)) sera 
absolument continue. 
En effet, lorsque les intervalles (%, bf) (pour les notations 
V. n" 2) empiètent les uns sur les autres, on peut toujours (en 
subdivisant au besoin les intervalles (a^, (3^)) supposer que deux 
intervalles empiétants se confondent entièrement. Désignons 
par [Uj, bj) (j=i, 2, m) les intervalles distincts, par 
conséquent non empiétants, de ce système (en laissant de côté 
ceux qui se réduisent à un point) et admettons qu’on les rencontre 
dans le système primitif kj [j==\, 2, ..., m) fois, respective¬ 
ment. Il est clair qu’on a toujours kj < k; d’où 
2; I <ï>(|30-<t(a,) 1 =2^ 1 F(frO-f'(«0 I 
i i 
= 2] fc; I F(&;) - F(a;) | < 12] I FftO - F(«;) |, 
j J 
et la démonstration s’achève immédiatement. 
Inversement 
si la fonction continue cp(t) ne vérifie pas la condition (A), 
on peut construire une fonction F(x), absolument continue 
et telle que la fonction <î)(t) = F (f(t)) ne Fest pas. 
Il existe nécessairement dans (a, p) un point au moins (soit, 
par exemple, p) auquel cette propriété-ci de f, pour ainsi dire, 
(*) Ch.-J. de la Vallée Poussin, Mém. cit. (*), p. 462, S®. . 
(**) Il est bon de remarquer que la condition (A) est plus générale que l’hypothèse 
que l’intervalle (a, p) se partage en plusieurs autres où 9 est monotone. 
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