G. Fichtenholz. — Noie sur les fondions absolumenl continues. 
se condense, de façon que dans l’intervalle ([^ — 8, p), quel que 
soit o>0, la fonction cp ne satisfait pas à la condition (A). Car, 
s’il en était autrement, on pourrait conclure, à l’aide du théo¬ 
rème connu de M. Borel sur les systèmes d’inlervalles, que 
la dite propriété n’a pas lieu dans l’intervalle entier (a, (8) et la 
condition (A) est complètement vérifiée, contrairement à l’hypo¬ 
thèse. 
Donc, quels que soient les nombres positifs o et k, on peut 
toujours assigner, entre [3 — o et (3, n>k valeurs de t qui four¬ 
nissent à cp la même valeur, et d’ailleurs n’appartiennent pas 
deux à deux à un même intervalle de stationnement. Nous 
supposons en outre que si une quelconque de ces valeurs est 
contenue dans un tel intervalle elle se confond avec l’un de ces 
points extrêmes. 
Il suit de ce qui précède qu’on peut former une suite crois¬ 
sante de valeurs de t (ayant [3 pour limite) : 
„{i) 
f(i). 
^(2) 
^■2 > 
,{ 2 ). 
,(V) 
h f 
AV) 
partagée en groupes, toutes les valeurs du v -ième groupe 
fournissant à la fonction cp (t) une même valeur a, : 
cp (a'")) == cp(a<">) = ... = cp(aîJ> ) = a^, 
et le nombre d’éléments du v -ième groupe croissant indéfi¬ 
niment avec V. D’après la continuité de la fonction cp, on peut 
faire cela de manière que tous les nombres a^, qui évidemment 
tendent vers c = cp(p), soient distincts. Puis, en supprimant au 
besoin certains des a précédemment choisis, on peut en outre 
prendre dans le voisinage de chaque un (3^^^ tel qu’on ait, 
quel que soit y, 
les intervalles (3;"% ni les (a„ ù,} n’empiétant respecti- 
vement. Pour fixer les idées, supposons que les vont en 
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