G. Fichlenholz. — Noie sur les fondions absolument continues. 
croissant et qu’on a toujours a^<b^; enfin, on peut encore 
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admettre que la série est convergente. 
V=1 
Gela posé, si 'f{t) varie entre a et b lorsque t varie entre a 
et p, il suffît de définir pour les valeurs de x dans {a, b) une 
fonction absolument continue F(x), dont la différence absolue 
|F(/^)-F(a,)|soit — ^ ’ quel que soit v. En effet, pour une 
telle fonction, on aura 
t=??v 
i=l 
tandis que 
en sorte que d>(^) ne pourra pas être absolument continue. 
La construction même de la fonction F est très facile. Posons 
que 1) F(a.,) = 0, F^ (pour v —1, 2, ...); 2) dans 
l’intervalle entre deux valeurs consécutives k, ou 
F varie linéairement; 3) F (x) = 0 partout ailleurs. La variation 
de F{x) dans (a, b) étant bornée (car sa valeur ne surpasse pas 
la somme de la série convergente2 ^ — j, il est possible, pour 0 
suffîsamment petit, de rendre la variation totale de F(a;) dans 
(c — O, c) aussi petite qu’on veut. Comme la fonction ¥[x), 
évidemment, est absolument continue dans les parties restantes, 
elle l’est aussi dans l’intervalle entier (*). 
On peut réunir les deux propositions précédentes comme il 
suit : 
Pour que la fonction composée <ï> (t) = F(cp(t)) soit 
absolument continue avec F, quelle que soit F, il faut et il 
suffit que la fonction soit elle-même absolument continue 
et vérifie la condition (A). 
{*) C'est là une propriété générale d’une fonction continue à variation bornée; 
l’ensemble des points aux environs desquels elle cesse d’être absolument continue 
ne peut avoir de points isolés. 
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