G. Fichtenholz. 
Note sur les fonctions absolument continues. 
4® Arrêtons-nous, en passant, à la notion de la continuité 
absolue au sens étroit, à laquelle nous avons été conduit dans le 
n® ± 
La condition nécessaire et suffisante pour quune fonc¬ 
tion F (x) soit absolument continue au sens étroit est 
quelle satisfasse à la condition de Lipscliitz. 
Nous savons déjà que cette condition est suffisante. Mon¬ 
trons qu’elle est aussi nécessaire. 
Lorsque la condition de Lipschitz n’est pas remplie, on peut 
définir deux suites ..., ... et x^-\-li^, x^-\- li^,... 
x.^-\~lr^, ... de valeurs de x telles qu’ont ait 
(3) lim h, = 0, 
V-^oc 
et 
(4) lim , 
V-»» 
en désignant par l’expression 
F(æ*v + h) — F(Xv) 
' — 
h, 
(v==l,2, 3,...). 
Soit 71^ le plus petit entier positif vérifiant la relation 
/£, j A, I > ; alors on a 
(o) «v I F(a-v + h',) — F(Æv) I > 1. 
D’autre part, 
1 
(Wv — 1) fev • 1 K 1 < L (Wv — 1) i Ih ! < r ’ 
de sorte que (voir (4)) lim — 1) = d’où, à cause de (3), il 
vient aussi 
(6) lim ihjF, = 0. 
Donc, si l’on prend a, intervalles (a^, ,2,..., n,^), de 
manière qu’ils coïncident tous avec l’intervalle {x.^, x.j-\-liy)y on 
aura (voir (5)), quel que soit v, 
lim'vVwO-FWOHlim w, | F J F - i > 1, 
V-.0O s 
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