G. Fichlenholz. — Noie sur les fonctions absolument continues. 
L’ordonnée de la ligne polygonale définitive, dont nous 
venons de donner la construction, définit une fonction con¬ 
tinue x = pour toutes les valeurs de t qui sont >a mais < |3; 
nous complétons cette définition, sans nuire à la continuité, par 
la condition cp(p)=/>. Alors la fonction cp(^) prendra les valeurs 
aux extrémités des intervalles (7), dont la somme de 
longueurs, en vertu de la relation (G), tend vers zéro avec 
11 est aisé de vérifier en outre qu’on a toujours 
,^(n-'f(f)l< |f'-f I; 
cela est évident, si t' et t" tous deux sont < P; par un passage à 
la limite on établira que la relation est vraie lorsque t’ ou f ' = p. 
Donc la fonction cp [t) est absolument continue, en sorte 
qu’elle satisfait bien aux conditions imposées. 
En rapprochant cet énoncé de celui de M. de la Vallée 
Poussin (*) on a le résultat que voici : 
Pour que la fonction composée <ï> (t) = F (cp (t) ) soit abso¬ 
lument continue en même temps que cp(t), quelle que soit 
f (t), il faut et il suffit que la fonction F (x) satisfasse à la 
condition de Lipscliitz. 
6° Revenons à la formule d’intégration par substitution : 
rf(ti rt 
( 8 ) J f(x)dx = ^ 
a CL \ 
OÙ a = <p {x), et posons (une fois pour toutes) 
F(*)= I tKX)àx, «I>(t) = F(<p(0). 
a 
Comme l’intégrale du second membre de (8) (si elle existe) est 
une fonction absolument continue de t, il faut que (t) lé soit 
aussi. 
(*) Ch.-J. de la Vallée Poussin, Mém. cit. (*), p. 462, 4». 
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