G. Fichtenholz. — Note sur les fonctions absolument continues. 
Lorsque la fonction f [x] à intégrer n’est pas bornée (même 
quand on néglige les ensembles de mesure nulle), en sorte que 
la fonction F (x) ne vérifie pas la condition de Lipschitz, il est 
toujours possible, d’après le numéro précédent, de choisir la 
substitution x = o {t) de manière que l’équation (8) certaine¬ 
ment n’ait pas lieu. 
M. de la Vallée Poussin, le premier qui ait posé la question 
de l’intégration par substitution dans toute sa généralité (*), a 
énoncé dans son Mémoire important, beaucoup cité, les condi¬ 
tions les plus générales possibles pour la validité de la for¬ 
mule (8), à savoir : 
1“ Que la fonction [t) soit absolument continue, ou 
Que le produit /‘|cp (^)J f (t) soit sommable. 
En particulier, l’iiypotlièse 1^" se trouve toujours réalisée 
lorsque la fonction cp (t), étant absolument continue, remplit de 
plus la condition (A) du n^" 3, et c’est là l’hypothèse la plus 
générale possible relative à cp, qui entraîne la formule (8), quelle 
que soit la fonction sommable f (x). 
Il est à remarquer que les raisonnements de l’illustre auteur 
dans son Mémoire, en ce qui concerne la formule de la substi¬ 
tution, ne paraissent pas complètement suffisants. En effet, ils 
s’appuient sur l’affirmation qu’une fonction 0 (f) = 9 [cp (^)] est 
absolument continue (**) ; or, cette fonction est composée à 
l’aide de deux fonctions 9 (x) et cp (t), dont la première, 
d’après sa définition, certainement n’a pas ses nombres dérivés 
bornés (***), en sorte qu’on peut (v. numéro précédent) choisir 
la fonction cp [t) absolument continue de telle manière que 0 [t] 
ne le soit pas ("'). 
(*) Cours d’analyse infinitésimale, t. I. Louvain-Paris, 1914, pp. 280-284. 
(**) Loc. cit., p. 466. 
(*’**) Loc. cit., p. 463. 
("') En 4917, mon ami M. J. Tamarkine, professeur à TUniversité de Petrograd, 
a remarqué que la continuité absolue de 0(0 n’est pas démontrée. D’après le 
numéro 5, il est clair qu’elle ne peut pas l’être. 
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