G. Fichlenholz. — Note sar les fondions absolamenl continues. 
Néanmoins les résultats de M. de la Vallée Poussin reproduits 
plus haut sont parfaitement vrais; ils se trouvent démontrés au 
fond par les raisonnements de Pémiiient géomètre dans son 
Cours (*), avec de légères modifications. 
On peut encore tirer de ces raisonnements un résultat de plus : 
En effet, M. de la Vallée Poussin a démontré que, presque 
partout, a lieu l’inégalité | (^) j — | / (^) ^^ (0 i ’ seule 
condition que la dérivée <^t>' {t) soit unique presque partout, en 
sorte que si, en outre, elle est sommable, la fonction [t) 
l’est a fortiori et la formule (8) subsiste. Ces conditions seront 
ré’alisées toutes deux si la fonction ^E> (^) est h variation 
bornée (d’après les théorèmes connus de M. Lebesgue) ; cela 
donc suffit pour que la formule (8) soit valable. Puis, toute 
fonction absolument continue F [x) pouvant se présenter sous la 
forme d’une intégrale indéfinie de Lebesgue, on peut énoncer le 
résultat suivant : 
Pour (juc la fonction d>(t) = F (cp 't)), F et cp étant abso¬ 
lument eontinues, le soit elle-même (P faut et) il su/lit 
(jiielle soit à variation bornée. 
Finissons notre note par la remarque suivante : 
Tous les auteurs qui jusqu’ici se sont occupés de la formule 
d’intégration par substitution supposaient toujours la fonc¬ 
tion cp (t) absolument continue. Peut-être n’est-ü pas sans intérêt 
d’e'ssayer de s’affranchir de cette restriction. Ceci, par exemple, 
est très facile dans le cas où la fonction continue o (^) est mono¬ 
tone; pour fixer les idées supposons qu’elle ne décroisse pas. 
En effet, la démonstration du lemrne fondamental de M. de la 
Vallée Poussin (**) est presque immédiate dans cette hypothèse; 
on peut le déduire de l’inégalité connue 
!*■) Cours d'amlyse infinitésimale^ t. I. f.oiwain-Paris, 1911, p|). 230-281. 
(**) Cours d’analyse, t. 1, p. 281, n® 268, 
(***) Ibid., p. 274, no 259. 
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