G. Ficlilenholz. — Noie sur les fonctions absolument continues. 
j^orsque la fonction f (x) est bornée, il ne nous reste qu’à 
admettre a priori la continuité absolue de d> [t) pour qu’il soit 
possible de raisonner tout à fait comme antérieurement. 
Enfin, si f [x] n’est pas bornée, on peut imiter le procédé de 
M. de la Vallée Poussin, en introduisant la fonction auxiliaire /„, 
égale à /', si — n < [ < n, à — n, si /' < — n et à n, si f > n. 
Admettons maintenant aussi que la fonction {t) est absolument 
continue. Pour qu'on puisse, suivant l’illustre auteur, déduire 
la formule (8) par un passage à la limite de l’équation semblable 
.‘‘f(t) rt 
a 
a 
relative à la fonction bornée il faut montrer que la continuité 
absolue de <ï>, supposée a priori, entraîne celle de la fonction 
a 
et par là justifier la formule précédente. 
A cet effet, remarquons que la fonction 
a 
représente la variation totale de F {x) [dans (a, x)] et, ^ étant 
monotone, (ï) = F* [cp (ï)] fournit celle de [dans (a, ^)J, 
en sorte que d>* it) est en même temps que absolument 
continue (*) ; or l’est a fortiori, en vertu de l’inégalité évidente 
(*) Cours d’analyse, p. 76, théor. II. 
