L. Godeaux. — Sur les surfaces du quatrième ordre, etc. 
Nous avons donc l’énoncé suivant : 
Si la fonction f(x) est sommable, la formule (8) subsiste, 
quelle que soit la fonction continue et monotone cp (t), 
pourvu que la fonction <ï> (t) soit absolument continue. 
Géométrie. — Sur les surfaces du quatrième ordre 
possédant six points doubles biplanaires ordinaires (*), 
par Lucien GODEAUX, professeur à l’École militaire. 
Nous avons, dans des recherches antérieures (**), déterminé 
les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une surface de 
genres 1 soit l’image d’une involution appartenant à une surface 
de genres 1. Pour compléter ces recherches, il est nécessaire 
de prouver également l’existence de ces surfaces, par exemple en 
construisant des modèles particuliers. Dans le cas où l’involu- - 
tion est d’ordre 2, la chose est simple. Si en effet une surface du 
quatrième ordre représente une involution d’ordre 2, appar¬ 
tenant à une surface de genres 1, elle est l’enveloppe des qua- 
driques d’un système d’indice 2 formé dans un réseau de 
quadriques (***). Les huit points-hase de ce réseau sont les 
points doubles de la surface du quatrième ordre. Il importe de 
remarquer qu’il existe des surfaces du quatrième ordre, contenant 
huit points doubles coniques, qui ne rentrent pas dans le type 
indiqué ci-dessus. Il ne suffit donc pas qu’une surface du qua¬ 
trième ordre possède huit points doubles coniques pour qu’elle 
soit l’image d’une involution d’ordre 2, appartenant à une sur¬ 
face de genres 1. 
(*) Présenté par M. Stuyvaert. 
(**) Sur les involutions de genres 1 existant sur une surface de genres i . 
(Bull, de l’Acad. roy. des sciences de Belgique, 1913, pp. 310-328.) — Mémoire 
sur les involutions appartenant à une surface de genres i . (Annales de l’École 
NORMALE SUPÉRIEURE, 1914, pp. 357-430 ; 1919, pp. 51-70.) [Voir 2e partie, no® 55 et 56.] 
(***) Mémoire sur les surfaces algébriques doubles ayant un nombre fni de points 
de diramation. (Annales de la Faculté des sciences de Toulouse, 1914; 
pp. 289-312.) [Voir no 11.] 
1922. sciences. 
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