L. Godeaux. — Sur les surfaces du quatrième ordre 
Dans ce travail, nous nous proposons de construire une sur¬ 
face du quatrième ordre, image d’une involution d’ordre 3, 
appartenant à une surface de genres 1. Nous y arrivons en utili¬ 
sant la transformation simplement rationnelle de l’espace 
obtenue en rapportant projectivement les quadriques passant 
par six points, aux plans de l’espace. Cette transformation avait 
été considérée antérieurement par M. V. Snyder. 
Nous commençons par démontrer que, étant donnés six 
points de l’espace, il existe oo^ surfaces du quatrième ordre 
ayant un point double biplanaire ordinaire en chacun de ces 
points et représentant chacune une involution d’ordre 3 appar¬ 
tenant à une surface de genres 1. 
Nous établissons ensuite qu’il n’y a que oc^ surfaces du qua¬ 
trième ordre possédant des points doubles biplanaires en six 
points assignés; par suite, 
Toute surface du quatrième ordi^e, assujettie à la seule condi¬ 
tion ^de posséder des points doubles biplanaires ordinaires en six 
points donnés, est T image d'une involution d'ordre 3 appartenant 
à une surface de genres i. 
Si l’on rapproche ce théorème de celui que nous avions établi 
antérieurement [loc, cit,), 
Les conditions nécessaires et su/fîsantes pour qu'une surface 
normale de genres 1 soit l'image d'une involution d'ordre 3 
appartenant à une surface de genres 1 sont que 
T Elle possède six points doubles biplanaires ordinaires ; 
2" Parmi les hyper sur faces cubiques passant par ces six 
points, il y en ait qui osculent la surface en tout point 
d'intersection. 
On voit que nous avons réduit, dans le cas particulier des 
surfaces du quatrième ordre, les conditions nécessaires et suffi¬ 
santes de deux à une. C’est ce qui n’a pas lieu dans le cas des 
involutions d’ordre 2, comme nous l’avons fait remarquer plus 
haut. 
