possédant six points doubles biplanaires ordinaires. 
1. — Soit F une surface du quatrième ordre possédant six 
points doubles biplanaires ordinaires P^, Pg, Pg, P 4 , P 5 , P^. 
Désignons par |C! le système des sections planes de F (système 
de degré 4 et de genre 3). Au point de vue de la géométrie sur 
une surface algébrique, un point double biplanaire équivaut à 
deux courbes rationnelles de degré — et d’ordre 0 , ayant un 
point commun. Désignons par deux courbes ration¬ 
nelles auxquelles équivaut le point P^ (i = 1, 2,..., 6 ). Deux 
courbes telles que Cf^^, ayant les premiers indices différents, 
ne se rencontrent pas. 
Supposons que la surface F ne possède pas d’autre singularité 
que celles mentionnées ci-dessus ; dans ces conditions, la surface 
F est de genres 1 = P 4 = 1). 
Nous avons démontré antérieurement (*) que la condition 
nécessaire et suffisante pour que F soit Fimage d’une involution 
d’ordre 3 appartenant à une surface de genres 1 est l’existence 
d’un faisceau de biquadratiques gauches |GJ tel que l’on ait 
l’identité fonctionnelle 
3 Ci -f- + G21 + ••• + Cgi) -\- (Ci 2 + Coo + ••• + 0^2) = 3 C. 
Dans ces conditions, il existe un second faisceau de biquadra¬ 
tiques gauches jGgl tel que (**) 
3C9 -f- (Cil + C21 + *•* + Cei) + ^(Ci 2 + C22 + ••• + ^62) = 3 (^. 
Les courbes G 4 rencontrent donc en un point chacune des 
courbes Gii,...,G 64 , mais ne rencontrent pas les courbes 
G^ 2 ,...,G 62 - Les courbes G^ ne rencontrent pas les courbes 
G 44 ,..., GgjL, mais rencontrent en un point chacune des courbes 
Gi2> • • • j Ggg- 
(*) Mémoire sur les involutions appartenant à une surface de genres 7. (Annales 
DE l’École normale supérieure, 1919, (3), XXXVI, pp. 51-70.) 
(**) Idem, 1914. 
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