L. Godeaux, — Sur les surfaces du quatrième ordre 
Une courbe et une courbe Cg se rencontrent en deux points 
simples de la surface F. Chacune de ces courbes appartenant à 
un faisceau, on a oo^ couples de points formant une involu- 
tion Ig, d’ordre 2. 
2. — Envisageons, d'une part, le système, de degré 4, 
genre 3, dimension 3 : 
|Co| = |C, + C,|, 
et, d’autre part, le système |Co| découpé, les oo’^ quadriques 
passant par les six points P^, Pg, ..., P^. On a donc 
I Co I = I 2 C — (Cii + C 21 + ••• + Cei) — (Gi2 + C 22 + ••• + G ) I. 
Mais on a également 
13Co I = 13 (C^ -f G 2 ) I = 16G — 3(Cii + G 21 +• •♦ + Cgi) — 3(Ci2 + C 22 H-h Cgg) |, 
et, par suite, 
|3Col = |3CJ|. 
La division sur les surfaces de genres 1 étant univoque (*), 
les systèmes |Co|, |Co| coïncident et les courbes |Gi + C 2 l 
découpées sur F^ par les quadriques passant par P^,..Pg. 
Il en résulte en particulier que toute courbe est située sur 
une quadrique passant par une courbe Cg, et inversement. 
Soient Q^, deux points simples de F^ ne faisant pas partie 
d’un groupe de CJ, C^'les courbes de |GJ passant respective¬ 
ment par Q^, Qg; G!,, Cg'les courbes de jC^j passant respective¬ 
ment par les mêmes points. Par Q^, Qg passent 00 ^ courbes delGgl 
formant un faisceau. Parmi ces courbes se trouvent CJ + Gg', 
G^'-j-Gg; donc ces gc^ courbes Gg passent encore par les points 
(*) F. Sevehi, La base minima pour la totalité des courbes tracées sur une surface 
algébrique. (Annales de l’École normale supérieure, 1908, (3), XXV, p. 21.) 
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