possédant six points doubles biplanaires ordinaires. 
points du domaine du premier ordre de situés sur ce cône, 
correspondent les points de la conique E* de tï*, suivant laquelle 
la surface de Kumrner touche ce plan. 
On arrive à des conclusions analogues pour les domaines du 
premier ordre des points Pg, P 3 , Pg. 
6 . — Considérons une quadrique F* de H*, tangente aux 
six plans 7z\, tuq. Une telle quadrique existe certainement, 
puisque ces six plans sont tangents à un cône du second ordre. 
A cette quadrique F* correspond dans S une surface du qua¬ 
trième ordre F possédant des points doubles biplanaires en P^, 
Pg, ..., Pgo En effet, F* rencontre tci, par exemple, suivant 
deux droites; par conséquent, F touche deux plans en P^. 
Aux génératrices de chaque mode de F* correspondent sur F 
des biquadratiques gauches passant par les six points P^, 
P 2 , ..., Pg, en y touchant chacune un des plans tangents à F. 
La surface F obtenue répond donc aux conditions imposées à 
une surface du quatrième ordre pour qu’elle soit l’image d’une 
involution d’ordre 3 appartenant à une surface de genres 1. 
Remarquons qu’il y a oo ^ quadriques possédant un cône 
tangent assigné; par suite, 
Étant donnés six points arbitraires, U existe ce * surfaees du 
quatrième ordre possédant des points doubles biplanaires ordi¬ 
naires en ces six points et représentant chacune une involution 
d’ordre 3 appartenant à une surface de genres 1. 
On voit d’ailleurs que, si la surface F* est considérée comme 
surface double, la courbe de diramation est découpée sur F* par 
la surface de Kumrner W*, dans les conditions indiquées plus 
haut. 
7. — Les surfaces du quatrième ordre „sont ao Posséder 
un point double conique en un point déterminé, pour une sur¬ 
face, équivaut à quatre conditions. Par conséquent, il y a au 
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