L. Godeaux. — Sur les surfaces du quatrième ordre 
moins oo surfaces du quatrième ordre ayant un point double 
conique en chacun des points Pg, Pq. Nous allons 
démontrer qu’il y en a exactement oo c’est-à-dire que ces 
surfaces satisfont à 6 X 4^ = conditions indépendantes. 
Observons qu’à une quadrique quelconque de S* correspond 
dans 2 une surface du quatrième ordre ayant en P^, Pg, , Pg 
des points doubles. Si donc nous désignons par llg l’involution 
déterminée dans H par les couples de points qui, avec P^, 
Pg, ..., Pg, forment l’intersection de trois quadriques d> linéaire¬ 
ment indépendantes, nous voyons qu’il y a oo ^ surfaces du qua¬ 
trième ordre, ayant six points doubles P^, Pg, ..., Pg, formées 
de couples de points Pg. Il est donc possible de trouver une 
surface du quatrième ordre présentant les mêmes singularités, 
mais non composées de oo ^ couples de Pg, puisque ces surfaces 
sont au moins en nombre oo 
Soit une pareille surface. Le lieu des points qui, avec ceux 
de F^, forment des couples de Pg est une surface FJ que nous 
allons démontrer être du quatrième ordre. Soit r* une droite 
quelconque de il lui correspond, dans E, une biquadratique 
passant par P^, Pg, Pg, e.., Pe et rencontrant donc F^ en 
4x4 — 6x2 = 4 points en dehors des points doubles. Par 
suite, à F^ correspond, dans il*, une surface F^ d’ordre 4. 
A F^ correspond dans S une surface du huitième ordre néces¬ 
sairement décomposée en F^ et FJ. FJ est donc bien du quatrième 
ordre. 
La surface FJ possède, en P^, la même singularité que F^, 
c’est-à-dire un point double conique. Aux cônes tangents à F^, 
FJ en P^ correspondent dans tti deux coniques appartenant à 
Fl. On voit que ces deux coniques font nécessairement partie 
d’un faisceau contenant la conique E*. On arrive aux mêmes 
conclusions pour les autres points doubles et, par suite, F* ren¬ 
contre les plans tti, ..., Tig en des couples de coniques dont les 
points d’intersection sont sur la surface de Kümmer W*. 
Les surfaces F^, FJ déterminent un faisceau qui contient la 
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