L. Godeaux. 
Sur les surfaces du quatrième ordre 
points doubles (en général) coniques en Pg,..., Pg. Par 
conséquent, 
Les surfaces du quatrième ordre possédant six points doubles 
coniques assignés sont en nombre oo^®. 
8 . — Soit, s’il en existe une, Fg une surface du quatrième 
ordre possédant en P^, P 2 ,...,Pg des points doubles bipla- 
naires ordinaires, et qui ne soit pas formée par oo^ couples dellg. 
D’ap rès ce qui vient d’êti'e dit, il correspond à Fg, dans S*, une 
surface du quatrième ordre F* touchant W le long d’une courbe 
située sur une ([uadrique. A Fg correspondent, dans S, deux 
surfaces du quatrième ordre Fg, Fg appartenant, avec W, à un 
même faisceau. 
Observons qu’enP^, par exemple, Fg a nécessairement, comme 
Fg, un point double biplanaire. Soient les plans tangents 
à Fg en P^ ; Wg les plans tangents à Fg au même point. Sup¬ 
posons, pour fixer les idées, que les points de et wJ, infiniment 
voisins de P^, forment des couples de Ilg. Le plan 03 ^ contient 
deux bisécantes de la cubique gauche yg. Ces bisécantes sont des 
lieux de 00 ^ couples de ilg; par suite, contient les mêmes 
bisécantes et coïncide donc avec De même W 2 et wg coïncident. 
Il en résulte que la surface FJ doit toucher le plan II J suivant 
deux droites. Le point commun à ces deux droites est d’ailleurs 
distinct de P*, car aux droites de nj passant par ce point corres¬ 
pondent les droites du cône projetant Vg de P^. 
Désignons par r*^, r^, les droites suivant lesquelles FJ touche 
le plan tu* (i = 6 ). Le point commun à r* et à tuJ se 
trouve nécessairement sur l’une des droites par exemple 
sur Alors, les droites rjg, rjg se rencontrent en un point 
commun à ttJ, uJ et la droite P* PJ,, commune à ces deux plans, 
ne pouvant rencontrer FJ en dehors des deux points communs 
aux droites r*, est bitangente à FJ. Par le point commun à 
rJi, passent donc trois tangentes à la surface FJ (rjp 
P* PJ 2 ) et ces tangentes ne sont pas situées dans un même plan. 
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