possédant six points doubles biplanaires ordinaires. 
Donc F 3 possède un point au moins double en ce point. En 
répétant le même raisonnement pour les autres points communs 
aux droites r*, on voit que F 3 possède 2 (|) =30 points au 
moins doubles. Il en résulte que cette surface dégénère. 
Considérons un plan arbitraire passant par par exemple. 
Il rencontre Fg en cette droite et en une cubique plane qui doit 
avoir cinq points au moins communs avec donc cette cubique 
dégénère et est double pour Fg. De même, la surface FJ passe 
doublement par les autres droites 
Un plan quelconque ne peut rencontrer FJ en plus de deux 
droites r* ; d’autre part, une droite r* en rencontre six autres : 
celle qui est située dans le même plan u* et une de chacun des 
cinq autres plans tz*. Il en résulte que les droites r* sont néces¬ 
sairement situées sur une quadrique ; six de ces droites faisant 
partie des génératrices d’un mode, les six autres des génératrices 
de l’autre mode. Et cette quadrique est tangente aux six 
plans TT*. 
De ce qui précède, il résulte que la surface Fg doit nécessai¬ 
rement être formée par 00 ^ couples de l’involution Ilg. Si l’on 
rapproche ce résultat de celui qui a été obtenu plus haut (n" 6 ), 
on voit que 
Toute surface du quatrième ordre possédant six points doubles 
biplanaires en six points assignés (et pas d’autre singularité) 
représente une involution d’ordre 3, appartenant à une surface 
de genres 1. 
Observons que posséder un point double biplanaire ordinaire 
en un point assigné équivaut, pour une surface, à cinq condi¬ 
tions. On voit donc que les conditions imposées à une surface 
du quatrième ordre, de posséder six points doubles biplanaires 
assignés, sont toutes indépendantes. 
9. — Remarquons que les six points de contact de la qua¬ 
drique F* avec les plans tcJ, ..., ttJ sont situés dans un même 
plan (p*, le plan polaire de F* par rapport au point P*. A ce plan 
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