A. Demoulin, — Sur les surfaces cerclées. 
II. 
7. Soit r un cercle réel variable dépendant d’un paramètre u. 
Désignons par F' la position de F qui correspond à la valeur 
n -\-du paramètre u et appliquons aux cercles F, F' les 
formules précédentes. 11 y a trois cas à considérer : 
Premier cas. et sont 7 ^ 0 (*). 
Deuxième cas. On a = 0 , = 0; 
et 'S.[d}hY sont ^ 0 . 
Troisième cas. On a 
^ ^ II. (d^af = 0, S (dV>y = 0. 
Dans le troisième cas, les points a, h décrivent des droites 
isotropes (**); par suite, il y a oc^ cercles coupant orthogonale- 
ment en deux points chacun des cercles F, F' (n®® 3 et 5). 
Cherchons, dans les deux premiers cas, les limites vers 
lesquelles tendent les sphères (F, CJ, (F, Cg) lorsque tend 
vers 0. Si Fon désigne par tjLg les limites de pg, ces 
sphères sont définies par les équations 
j2(a + M)a; = 0, 
^ ( S(rt + ,u,fc)a! = O, 
(*) Soient x, ij^ z les coordonnées cartésiennes rectangulaires du point a et 
x’, y\z' celles du point b. Si l’on prend pour coordonnées pentasphériques de ces 
points 
Sa;2 - 1 . S.r2 + i 
-, i —-— 
et 
X , y\z\ ---, î - 
2 2 
on a 
I(da)^=S{dx)% = ^{dHy-=S{dKx)^ ^id^-h)^ = S{d^x’)\ 
x\y’.z' étant respectivement imaginaires conjuguées dex,y,z, ^{da)^ et Z{dh)'^ 
sont imaginaires conjuguées ainsi que et Par suite, ^{daf- et 
sont simultanément nulles ou =^0 et il en est de même de 'ï.{d'^a)- et 
(**) On peut établir ce résultat en se servant des formules indiquées dans la note 
précédente. Nous le démontrerons plus bas (note du n^ 14) au moyen de la méthode 
du pentasphère mobile. 
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