A. Demoulin. — Sur les surfaces cerclées. 
8 et ^ sont réels; par suite, en vertu de (41), ^ est purement 
imaginaire et l’angle défini par l’égalité (31) est réel. Si l’on 
tient compte de cette égalité, la relation (41) s'écrit 
(42) tg8=~tg|th^-. 
Si l’on ne veut considérer que des éléments réels, la formule 
(37) ne peut être employée dans le cas présent. En effet, 8 
étant réel et ^ imaginaire [en vertu de (36)], l’angle f est 
purement imaginaire, ce qu’on établit d’ailleurs aisément par la 
géométrie (*). 
VI. 
19. M. Vessiot a pris, pour définir la position du cercle F; 
la quantité a- qui satisfait à l’égalité 
= (lo)f -f- dw|. 
(*) Désignons par D la transformation de M. Darboux qui permet de passer de la 
géométrie euclidienne à la géométrie non-euclidienne et dont S 5 est la sphère lieu 
des points doubles. Au moyen de cette transformation, on peut rattacher comme il 
suit, de deux manières differentes, la variation de la sphère S à la variation du 
plan tangent à une surface réglée non-euclidienne en un point mobile d’une géné¬ 
ratrice rectiligne. 
I. Soient A', B' les positions des points A, B qui répondent à la valeur u-j-Au du 
paramètre u, et Ai, Bi les points qui correspondent à B^ dans la transformation D. 
Si Aw varie, la droite AiBi engendre une surface Bi contenant la droite AB. Le 
plan tangent à Ri eu P correspond à la sphère S dans la transformation D. 
II. Désignons par A 2 , B 2 les intersections de F' avec Sjj. Si Au varie, la droite A 2 B 2 
engendre une surface R 2 contenant la droite AB. Le plan tangent à R 2 en P corres¬ 
pond à la sphère S dans la transformation D. 
Les deux propriétés précédentes entraînent évidemment la suivante: les surfaces 
Ri, R 2 se raccordent suivant la génératrice AB. 
Si la sphère S 5 est fixe, les surfaces Ri, R 2 coïncident avec la surface R lieu 
de AB. Dans ce cas, la surface R correspond à la surface dans la transforma¬ 
tion D et les formules (39) et (42) conduisent aux lois de variation du plan tangent 
en un point mobile d’une génératrice rectiligne d’une surface réglée en géométrie 
non-euclidienne, elliptique ou hyperbolique. 
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