du premier ordre d’une seule fonction inconnue. 
En ajoutant et en soustrayant l’expression bydy dans le 
premier membre de l’égalité obtenue et czdz dans le second, 
il s’ensuit 
yd (ax by cz) — ^ bd + 2/^ + 
d (x^ -t y^-{- — zd {ax + /??/ + cz) 
Enfin, la résolution de cette dernière équation par rapport 
à l’une des différentielles nous donne 
d(ax + by + cz) = dix^ + 
Par conséquent, Téquation fonctionnelle générale des surfaces 
de révolution devient 
ax -h by + cz = f{x^ + 2/^ + z% 
f désignant une fonction arbitraire de + + (*)• 
Les équations intégrées sont linéaires dans tous les exemples 
considérés. 
Or, le problème de l’intégration de l’équation partielle (2) 
présente de nouvelles difficultés quand elle n’est plus linéaire, 
car il est alors impossible de tirer de l’équation (1) une relation 
fonctionnelle par l’élimination d’une variable, p ou q, entre les 
équations (1) et (2). En effet, l’élimination de p de la différen¬ 
tielle (1) ne rend plus linéaires par rapport à q les coefficients 
de dx et dy de l’équation transformée. 
Pour trancher la question, le second principe intervient, celui 
dont se servait aussi d’Alembert. Son idée est de se baser sur 
(*) Il est intéressant de comparer les solutions d’Euler citées avec celles qu’on 
fait à présent en «suivant la théorie bien développée des équations partielles 
linéaires. Voir à ce sujet la solution du problème dans le Cours d’Analyse infini¬ 
tésimale, par Ch.-J. de la Vallée Poussin, t. II, 4® édit., p. 273. 
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