N. Saltykow. — Théorie des équations partielles 
Il est donc évident que pour vérifier l’équation donnée (4), 
la fonction (s[u) doit satisfaire à la condition 
= ( 6 ) 
L’ensemble des deux équations (5) et (6) représente bien 
l’intégrale dite générale de l’équation (4). 
En appliquant sa méthode, Lagrange réussit à intégrer neuf 
types d’équations de la forme générale (^). 
Il donne (*), ensuite, la théorie générale d’intégration d’une 
équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre d’une 
fonction inconnue d’un nombre quelconque de variables indé¬ 
pendantes, en ramenant son intégration à celle d’un système 
d’équations différentielles ordinaires. 
Quant à ce qui concerne les équations non linéaires, Lagrange 
transforme la condition d’Euler (3) en y éliminant, grâce à 
l’équation (^), les dérivées de la fonction q (** (***) ), et obtient une 
équation qui n’est linéaire que par rapport aux dérivées par¬ 
tielles de la fonction p. Le système correspondant d’équations 
différentielles ordinaires reçoit plus tard le nom de système 
d'équations différentielles des caractéristiques, d’après l’interpré¬ 
tation géométrique qu’a donnée Monge (*’'*) au calcul analy¬ 
tique que nous venons d’indiquer. 
L’intégrale générale de l’équation partielle linéaire, à quatre 
variables, correspondante à l’équation (2), s’exprime par une 
fonction arbitraire de trois arguments. Or, l’intégrale générale 
de l’équation ('2) ne renferme qu’une fonction arbitraire d’un 
(*) Sur différentes questions d’analyse relatives à la théorie des intégrales parti¬ 
culières, 1779. (Œuvres complètes, t. IV,p. .^85; article V, p. 624.) —Méthode géné¬ 
rale pour intégrer les équations aux différences partielles du premier ordre Lorsque 
ces différences ne sont que linéaires (Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des 
Sciences et Belles-Lettres de Berlin, 1785); Œuvres complètes, t. V, p. 560. 
(**) Leçons sur le Calcul des fonctions, 3® édit. (Œuvres complètes t. X, 
pp. 322, 350-357.) 
(***) G. Monge. Histoire de l’Académie des Sciences, 1784, p. 118. 
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