N. Sallykow. — Théorie des équations partielles 
élément irrégulier. Mayer introduit les modifications nécessaires 
dans la méthode de Cauchy et dans celles de Jacobi, dans le but 
de toujours obtenir l’élément régulier requis J. Grâce à ce 
perfectionnement, la seconde méthode de Jacobi reçoit le nom 
de fc méthode d’intégration de Jacobi-Mayer )). 
Serret, Bertrand, Darboux, Morera eL Lemonier contribuent 
pour leur part au développernenl du même ordre d’idées. 
A la même époque fut élucidée par Darboux C") la question 
générale d’existence de l’intégrale d’une équation aux dérivées 
partielles du premier ordre, et la question posée plus haut 
(voir p. o) a été ainsi résolue d’une manière précise. 
S. Lie, d’autre part, se place à un point de vue diamétrale¬ 
ment opposé, en prenant l’élément intégral irrégulier L comme 
point de départ de ses recherches. Il se trouve donc d’abord 
obligé d’interpréter la base logique de sa méthode. En elfet, les 
équations de l’élément intégral L n’étant pas résolubles par 
rapport aux variables canoniques de seconde classe, les valeurs 
de ces dernières ne peuvent plus être considérées comme les 
dérivées partielles de 2; de plus, les variables canoniques de la 
première classe ne sont pas indépendantes, car elles sont liées 
entre elles par des relations, qu’on obtient en éliminant 2 
et les variables canoni(jues de seconde classe entre les équa¬ 
tions de l’élément intégral L. 
Pour surmonter toutes ces dilficultés, S. Lie introduit de 
nouvelles notions géométriques sur les multiplicités. Les équa¬ 
tions à intégrer ne sont plus alors véritablement des différen¬ 
tielles; nous allons les nommer équations dérivées de S. Lie. 
Néanmoins les formules analytiques correspondantes peuvent 
.être envisagées sous certains rapports comme généralisation 
formelle de celles de la théorie classique. De même, les notions 
nouvelles des multiplicités permettent, elles aussi, de généraliser (*) 
(*) Comptes rendus de l'Académie. Paris, t. LXXX, pp. 101, 317. 
606 
