du premier ordre d'une seule fonction inconnue. 
sijstème (H) en iin ensemble d'éléments associés, exprimés au 
moijen de deux variables indépendantes, qui ne sont pas forcé¬ 
ment ^ et 
Or, considérons d’abord la relation (11) comme une équa¬ 
tion aux dérivées partielles de 2 prises respectivement par 
rapport k x et y. On va voir que les éléments intégraux régulier 
et irr'égulier de l’équation (1 1) en définissent de même toutes les 
multiplicités de S. Lie. 
En effet, d’après la définition donnée plus haut, l’élément 
intégral régulier de l’équation partielle (11) peut être mis sous 
la forme suivante : 
= f(x, y. Cl, Cg), 
( 12 ) 
Cl et C 2 désignant deux constantes arbitraires. L’ensemble de 
ces dernières valeurs de 2 , p el q vérifie identiquement les deux 
relations (10) et (11). Il existe donc, pour le cas en question, 
une concordance complète entre les notions de la théorie clas¬ 
sique des équations partielles et les équations dérivées de S. Lie. 
Définissons ensuite un élément intégral irrégulier de l’équa¬ 
tion partielle (1 1 ) par le système d’équations 
¥(æ, y, Z, p, q) = 0, ) 
F^{x, y, Z, p, q) = C*, y, z, p, q) = Cg, ) 
dont la première est identique à l’équation donnée (1 1); d’autre 
part, Cl, Cg désignent des constantes arbitraires. 
Le système (13), d’après la définition même de l’élément 
intégral irrégulier, vérifie les équations (10) et (11). Les équa¬ 
tions (13) satisfont donc aux deux conditions que S. Lie a 
introduites pour définir une multiplicité. Par conséquent, il existe 
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