N. SaUykow. — Théorie des équations partielles 
aussi dans ce cas une coïncidence entre ces dernières notions 
et celles de la théorie classique des équations partielles. 
Or, les équations (13) représentant un élément intégral 
irrégulier ne sont point résolubles par rapport à 2 , p et (/. 
Donc, rélimination de p et q du système (13) donnera une ou 
deux relations entre les variables ^ et 
Considérons d’abord la première hypothèse, en supposant 
que l’élimination de p et q du système (13) nous donne les 
deux relations ' 
z = f(x, Ci, C 2 ), // = cp(x. Ci, C 2 ). ( 1 -t) 
L’équation (10) étant identiquement vérifiée par le système 
(13), il en résulte l’égalité suivante, qu’on obtient en subsituant 
dans la formule ( 10 ) les valeurs (1 i) des variables 2 et ^ : 
df , 39 
— — p Q — * 
dx dx 
(i:>) 
Par conséquent, l’élément intégral irrégulier (13) doit être 
représenté par l’ensemble des trois équations équivalentes (14) 
et (15). On en tire aisément une conclusion bien déterminée sur 
la forme que doit présenter l’équation primitive ( 11 ), pour 
pouvoir admettre l’élément intégral irrégulier en question, 
équivalent à la multiplicité de S. Lie (14)-(15). Effectivement, 
l’équation ( 11 ) est le résultat de l’élimination de et Cg du 
système (14)-(15). Donc, les équations (14) étant résolubles 
par rapport à et Cg, l’élimination de ces constantes dans 
l’équation (15) donne une équation linéaire par rapport aux 
variables p et q : 
k{x, y, z) = 2 }-^q. B (a;, y, z). (16) 
Inversement, toute équation partielle linéaire en p et q admet 
non seulement une intégrale complète classique, mais aussi une 
multiplicité intégrale (14 et 15), au sens de S. Lie. 
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